Actividades: Proyección cilíndrica. Cartografía.

Escena primera:
Sitúa en el globo terráqueo la posición de las siguientes ciudades conociendo sus coordenadas geográficas (la primera coordenada es la latitud y la segunda la longitud, ambas expresadas en grados): Barcelona (41, 2), Nueva York (38, -97), Nairobi (1, 38), Tokio (36, 138) y Sidney (-29, 167). Indica cuál es la que está más al norte y cuál más alejada del meridiano 0. Coloca el punto P a una latitud de 50º pulsa proyectar y gira el cilindro para ver perfectamente la proyección. Explica en tu cuaderno cómo se obtiene el punto Q. Coloca el punto P en el ecuador (latitud 0º) y pulsa proyectar, después a una latitud de 30º pulsando de nuevo proyectar. Repite el proceso para una latitud de 60º y de 90º ¿Qué ocurre en este último caso? ¿Crees que la proyección cilíndrica será útil para representar cualquier punto de la Tierra? Pulsa Inicio en la escena. Vamos a dibujar una superficie cuadrada sobre el globo.En primer lugar pulsa Proyectar, después, sin cambiar la latitud (0º) pulsa el control de la longitud hasta llegar a 20º, a continuación pulsa la latitud hasta 20º sin cambiar la longitud, después vuelve la longitud a 0º y por último la latitud a 0º. Ahora repetiremos el proceso pero más al norte, es decir en primer lugar fijaremos una latitud de 45º, después sin moverla llevaremos dejando pulsado el control la longitud hasta 20º, a continuación pulsaremos la latitud hasta llegar a 65º, por último volveremos la longitud a 0º y la latitud a 45º. En teoría en ambos casos hemos dibujado un cuadrado de 20º x 20º pero ¿Son iguales las superficies? ¿A qué crees que se debe la diferencia? ¿Crees que la proyección cilíndrica representará con exactitud todos los países del mundo? ¿En qué zonas el error será más grande? Lleva el punto P a la longitud 30º y latitud 90º, pulsa el botón de Proyectar, y pulsa el control para disminuir la latitud hasta llegar a -90º , repite el proceso con una longitud de 60º ¿Cómo son los meridianos en la proyección cilíndrica? Pulsa Inicio y repite el proceso pero esta vez iremos modificando la longitud empezando en -180º para dibujar los paralelos. El ecuador lo dibujaremos con una latitud de 0º, después dibujaremos otro paralelo a 30º y otro a 60º ¿Cómo son los paralelos en la proyección cilíndrica? ¿Se mantiene la distancia entre los paralelos igual que en el globo terrestre?
Escena segunda:
Vamos a dibujar un mapamundi en proyección cilíndrica. Elige un continente, pulsa proyectar y verás cómo se obtiene su proyección en el plano. Proyecta uno por uno todos los continentes hasta obtener el mapa completo ¿Crees que representa con exactitud a todos los países del mundo? ¿En qué zonas se comete el mayor error? ¿Coincide con las previsiones que hiciste en la primera escena? Dibuja ahora sobre el globo terráqueo uno a uno los continentes sin proyectar y compara su forma con la que tienen en el mapa plano. ¿Qué continente se parece más a la realidad? ¿Cuál menos (sin contar la Antártida? ¿A qué crees que se debe? Busca en internet (por ejemplo en la wikipedia) lo que es una proyección conforme ¿Crees que la proyección cilíndrica es conforme?.

Guía didáctica: Proyección cilíndrica. Cartografía.

En este objeto tratará de abordarse el problema de la representación en una superficie plana de una superficie esférica como es el globo terráqueo. Una proyección perfecta sería aquella que respetara todos los ángulos de todos los puntos de la superficie y además las áreas de todas las zonas. Pero en la práctica es imposible conseguir ambas cosas a la vez. En este objeto en concreto se estudiará la proyección cilíndrica como un primera aproximación a la resolución de este problema. Se abordan también las distorsiones que conlleva esta proyección. En función de la profundidad con que se trate, este objeto de aprendizaje puede usarse en cualquier curso de la Secundaria y Bachillerato: En Secundaria, Este objeto puede introducirse en el estudio de la geometría espacial a nivel descriptivo, que se inicia en los últimos cursos de primaria y se continúa en Secundaria. En primer lugar permitirá trabajar y visualizar los conceptos de esfera, cilindro, tangencia y proyección de un punto. Además, de manera gráfica e intuitiva puede explicarse el problema que supone la representación de la superficie esférica del globo terráqueo en una superficie plana y comprobar las distorsiones que se producen. Teniendo en cuenta la dificultad de los alumnos/as para visualizar representaciones espaciales, este objeto permite representar de forma muy intuitiva en un espacio tridimensional como se lleva a cabo la proyección cilíndrica. Así pues, aunque los alumnos/as de Secundaria no poseen aún el bagaje analítico necesario para el desarrollo de las ecuaciones que permiten la obtención de las coordenadas en la superficie plana del desarrollo del cilindro, una simples herramientas de dibujo les permitirán comprender con este objeto el fundamento de la proyección cilíndrica, así como sus distorsiones. Por otra parte, este objeto puede ser usado además en el área de Ciencias Sociales, concretamente en el estudio de la cartografía y sus aplicaciones. En Bachillerato, En el curso de primero se introducen las herramientas necesarias para comprender las ecuaciones usadas en la proyección cilíndrica que sólo requieren de una trigonometría básica. Puede por tanto, hacerse una aproximación analítica a la proyección cilíndrica obteniendo las coordenadas de representación en el plano de un determinado punto a partir de su latitud y longitud. Asimismo puede determinarse la distancia entre dos puntos tanto en la superficie de la esfera como en la proyección calculando así el error cometido al usar este tipo de proyección. En segundo de Bachillerato además, es posible la interpretación del objeto desde el punto de vista tridimensional, es decir, pueden obtenerse, por ejemplo, las coordenadas de representación de los puntos en la esfera terrestre (x, y, z) a partir de su longitud y latitud. También podrá proponerse como ejercicio para los alumnos/as la deducción de las ecuaciones de la proyección aplicando conceptos de trigonometría, para lo cuál será necesario trabajar la visualización espacial.

Ejercicios: Proyección cilíndrica. Cartografía.

Dibuja un cilindro en perspectiva en tu cuaderno y al lado su desarrollo (1º y 2º ESO). Dibuja una esfera rodeada por un cilindro que sea tangente a la esfera y que tenga su misma altura. Sabiendo que el diámetro de la esfera es de 10 cm calcula el valor del área lateral del cilindro (2º ESO). Dos puntos situados en el ecuador de una esfera de 15 cm de diámetro están separados por un arco de 50º. Calcula que distancia en cm separa dichos puntos (1º Bach.). Dos ciudades se encuentran en el mismo meridiano, pero una tiene latitud 50º y otra 80º. Sabiendo que el radio de la tierra es 6750 km calcula la distancia que separa dichas ciudades (1º de Bach.). Aplicando ahora las ecuaciones de la proyección cilíndrica calcula la distancia que separaría a las dos ciudades en un mapa que estuviera realizado a escala real en proyección cilíndrica. (1º de Bach.). En un mapa realizado en proyección cilíndrica una ciudad dista del ecuador en vertical 5,2 cm. Sabiendo que su posición en el globo terráqueo viene determinada por una latitud de 40º y que el radio de la Tierra es de 6750 km calcula la escala del mapa. (1º de Bach.). Suponiendo una esfera de radio 1 calcula el error cometido al calcular la distancia entre dos ciudades situadas en el mismo paralelo con longitudes 30º y 50º en un mapa realizado con proyección cilíndrica. Repite el ejercicio si ahora las ciudades se encuentran a una longitud de 50º y 70º ¿Qué conclusión sacas? (1º de Bach.). Suponiendo una esfera de radio 1 calcula el error cometido al calcular la distancia entre dos ciudades situadas en el mismo meridiano con latitudes 30º y 50º en un mapa realizado con proyección cilíndrica. Repite el ejercicio si ahora las ciudades se encuentran a una latitud de 50º y 70º ¿Qué conclusión sacas? (1º Bach.). Busca en Internet (www.tageo.com) las coordenadas geográficas (latitud y longitud) de las ciudades de Madrid, Paris, Oslo, Nueva York y Santiago de Chile. Considerando una esfera de radio 1, calcula sus coordenadas en una proyección cilíndrica y represéntalas en un eje de coordenadas. (1º de Bach). Dada una esfera de radio 1 deduce la expresión de las coordenadas (x,y,z) que permiten representar la posición de un punto a partir de su latitud y longitud (2º de Bach).