Actividades: Triángulos en la Geometría Elíptica.

Observa ambas escenas y presta atención a los controles de la zona inferior. Varía manualmente los ángulos del triángulo esférico mediante los controles situados en la zona inferior. Los lados del triángulo esférico están formados por arcos de geodésicas? Desplaza los vértices hasta que el ángulo A sea de 90º. (Triángulo rectángulo) Desplaza los vértices necesarios para que el ángulo A se mantenga en 90º y el B sea de 90º. (Triángulo birrectángulo) Los puntos B y C están situados sobre un mismo meridiano. Varía la posición de la esfera y posiciónalos en el sitio que desees. ¿Consideras que el problema es diferente o bien se puede reducir siempre al caso considerado en la escena? Desplaza los vértices necesarios para que los ángulos A y B se mantengan en 90º y el C sea también de 90º. (Triángulo trirrectángulo) Haz variar los vértices y comprueba que no excede la suma de 540º y que no es inferior a 180º La esfera representada tiene por radio la unidad. ¿Varía el problema si el radio fuera diferente? Puedes simular este cambio modificando la escala de la representación, para ello mantén pulsado el botón derecho del ratón y desplázalo. En la segunda escena haz variar la posición de los tres vértices y comprueba que en ningún caso se excede de una circunferencia máxima.

Guía didáctica: Triángulos en la Geometría Elíptica.

Este objeto de aprendizaje puede ubicarse, a diferentes niveles de profundidad y detenimiento, en los cursos de Bachillerato: El estudio de la trigonometría plana puede ampliarse comprobando que muchas de las propiedades de los triángulos planos son análogas en los triángulos esféricos; sin embargo, hay diferencias importantes entre los dos tipos. Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo esférico puede ser cualquier valor entre 180° y 540°, dependiendo del tamaño y la forma del triángulo. Un triángulo esférico con uno, dos o tres ángulos rectos se denomina rectángulo, birrectángulo o trirrectángulo respectivamente. Un triángulo esférico en que uno, dos o tres lados son cuadrantes (cuarto de circunferencia máxima de la esfera) se denomina triángulo cuadrantal, bicuadrantal o tricuadrantal. Asimismo, l os lados de un triángulo esférico como arcos de circunferencia que son, pueden medirse en radianes y puede comprobarse también que la suma de éstos es menor que 2π. La introducción a geometrías no euclídeas con la negación del quinto postulado de Euclides en el siguiente sentido : "por un punto exterior a una recta no puede trazarse una paralela" que da lugar al MODELO DE GEOMETRÍA ELÍPTICA DE RIEMANN. El modelo de Geometría elíptica de Riemann se construye sobre una esfera de una manera especial, en el que las rectas no son infinitas sino cerradas. El PLANO es la superficie esférica. Un PUNTO corresponde a un par de puntos diametralmente opuestos en la esfera, y una RECTA es un círculo máximo sobre la esfera; es decir, línea geodésica. Se verifican las siguientes propiedades: Dos rectas tienen un punto en común , por lo cual desde un punto exterior a una recta no es posible trazar ninguna paralela. Las rectas son ilimitadas pero su longitud es finita y siempre la misma. La suma de los ángulos de un triángulo es siempre superior a 180º y menor de 540º.

Ejercicios: Triángulos en la Geometría Elíptica.

Dados dos puntos del plano P (x1, y1), Q (x2, y2) aplicando el teorema de Pitágoras determinar la distancia entre esos dos puntos. (4º ESO). Dados dos puntos del plano P (x1, y1), Q (x2, y2) determinar el vector PQ y su módulo. Verificar que éste da la distancia entre los puntos P y Q. (1º Bach.). Determinar la ecuación del lugar geométrico (circunferencia) de los puntos del plano que equidistan de un punto dado. (4º ESO y 1º Bach.). Determinar las ecuaciones correspondientes a una traslación de ejes, a un giro y a una homotecia. Hacerlo mediante un planteamiento geométrico y también usando operaciones con números complejos. (1º de Bach.). Analizar los diferentes casos posibles al intersecar dos circunferencias en el plano. (1º de Bach.). Longitud de un arco de circunferencia. (1º de ESO conociendo el ángulo central que determina el arco, 1º Bach. a partir de las coordenadas de los puntos que determinan el arco situados en un plano, 2º Bach. a partir de las coordenadas de los puntos ubicadas en el espacio y del centro de la circunferencia que contiene dicho arco). Determinar el lugar geométrico (esfera) de los puntos del espacio que equidistan de un punto dado. (2º de Bach). Calcular el ángulo entre dos vectores en el espacio (2º de Bach). Calcular el vector normal a un plano en el espacio (2º de Bach).