Actividades: Triángulos en el disco de Poincaré.

Escena primera:
Desplaza los controlesl A y B, o C y D por la circunferencia unidad,y observa las geodésicas que tienen por extremos dichos puntos. Desplaza los controles hasta que obtengas dos geodésicas secantes. Observa como, en este caso, el trazado de las rectas tangentes en el punto común permite definir el ángulo entre las dos geodésicas. De los cuatro ángulos que determinan las rectas tangentes se refleja el valor de uno de ellos. Desplaza los controles y encuentra dos geodésicas que sean ortogonales (90º). Desplaza los controles y encuentra dos geodésicas que formen un ángulo de 0º.
Escena segunda:
Desplaza los controles P, Q y R y observa la suma de los ángulos del triángulo hiperbólico representado. ¿Cómo es siempre? Trata de obtener un triángulo cuya suma sea 0º. Dibuja un triángulo rectángulo (es decir que tenga un ángulo de 90º). Dibuja un triángulo que tenga dos lados rectilíneos. ¿Puede tener los tres lados rectilíneos?

Guía didáctica: Triángulos en el disco de Poincaré.

Este objeto de aprendizaje se centra en Bachillerato: En la introducción de la geometría Euclídea la discusión sobre qué es un postulado, la necesidad de los postulados y el condicionamiento de los mismos queda puesta de manifiesto mediante el uso de estas escenas donde la negación del postulado quinto de Euclides a través de la comprobación de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es siempre inferior a 180º, conduce a la existencia de las geometrías no euclídeas, en particular, aquí, de la geometría hiperbólica. El acceso a la superficie esférica (disponible en un objeto de aprendizaje de esta colección) permite la introducción de otro tipo de geometría: la elíptica o Riemanniana. El trabajo con el disco de Poincaré permite la práctica y aprendizaje de las propiedades de las circunferencias en el plano euclídeo. Posiciones relativas e incidencia. La extensión del concepto de ángulo entre dos curvas permite la motivación del estudio de la recta tangente y la introducción del cálculo infinitesimal.

Ejercicios: el disco de Poincaré.

Ejercicios para 1º de Bachillerato: Búsqueda en la web de información relativa a los postulados de Euclides. Búsqueda en la web de información relativa a la forma del Universo. Ejercicios sobre determinación analítica de la ecuación de una circunferencia. Propiedades. Ejercicios sobre determinación de una circunferencia a partir de diferentes datos. Ejercicios sobre incidencia de recta y circunferencia. Ejercicios sobre incidencia de dos circunferencias. Ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto. Ecuación de la normal a una circunferencia en un punto. Ejercicios sobre potencia de un punto respecto a una circunferencia. La recta como geodésica en el plano euclídeo. Determinar que para que una circunferencia de centro (a, b) y radio r sea ortogonal a la circunferencia unidad ha de verificarse que a2+b2-r2=1. Determinar la recta tangente a una curva en un punto. Cálculo de derivadas. Estudio de la existencia de la derivada en un punto.