INDICACIONES
INTRODUCCIÓN En este recurso interactivo se muestra como se define el ángulo determinado por dos curvas en un punto común y se determina la suma de los ángulos de un triángulo en el disco de Poincaré comprobándose que ésta es siempre inferior a 180º. Esto contradice a lo conocido en la geometría Euclideana plana surgiendo otra geometría que se denomina no euclídeana, en este caso hiperbólica. OBJETIVOS Visualizar que el ángulo que foman dos curvas en el punto que se intersecan es el ángulo que forman sus rectas tangentes. Observar que la suma de los ángulos de un triángulo en el disco de Poincaré es menor que 180º. Verificar que no se cumple el quinto postulado de Euclides pues por un punto exterior a una geodésica en el disco de Poincarés pueden trazarse infinitas geodésicas paralelas. Introducir la geometría hiperbólica. INSTRUCCIONES El disco de Poincaré es un dico unidad en el que las geodésicas (líneas de camino mínimo) son arcos de circunferencia ortogonales a la frontera de dicho disco o diámetros. En la escena podemos elegir dos opciones mediante el menú ubicado en la parte inferior: Ángulos entre geodésicas en el disco de Poincaré. La interactividad se obtiene con cuatro controles gráficos, puntos, ubicados en la frontera del disco y emparejados dos a dos mediante una geodésica. Variando la posición de ellos se pueden obtener situaciones de paralelismo, es decir, en las que no hay intersección entre las geodésicas y situaciones en las que son secantes. En este ultimo caso trazando las rectas tangentes a ambas geodésicas en el punto de intersección se puede definir el ángulo que determinan mediante el ángulo que forman esas tangentes. Suma de los ángulos de un triángulo en el disco de Poincaré. En esta segunda escena Se dispone de tres controles gráficos etiquetados como P, Q y R y se dibuja el triángulo (figura geométrica determinada por tres geodésicas que se intersecan dos a dos) cuyos vértices son dichos puntos. En el lateral derecho se refleja el valor de cada uno de los ángulos del triángulo, así como su suma. Puede comprobarse como el valor total es siempre inferior a 180º (si en algún momento la suma diera el valor de 180º sería meramente causa de algún redondeo, pues teóricamente se demuestra la desigualdad estricta). En la parte superior se cuenta con dos controles (tipo menú) adicionales: ¿Dibujar las geodésicas? que permite representar las geodésicas que determinan el triángulo. ¿Dibujar las tangentes? que permite trazar las rectas tangentes a las geodésicas en los vértices del triángulo y que determinan los ángulos rectilíneos que proporcionan la medida de los ángulos del triángulo hiperbólico. En el botón de actividades se tiene una guía para practicar con esta escena y profundizar en su potencial educativo. También se puede realizar un test relacionado con "Triángulos en la Geometría Hiperbólica". NOTA BENE Esta escena se desarrolló en el año 2006 formando parte de un proyecto denominado "El metro: patrón inexacto para medir exactamente". Se ha adaptado a DescartesJS en 2020 como miscelánea.