Vectores en el plano

	PRODUCTO ESCALAR
	Geometría

11. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

u . v = |u| . |v| . cos (u,v)

Producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman

¡Atención! |u| , |v| y cos (u,v) son números. El producto u . v es un número. De ahí le viene el nombre, pues escalar significa número. O sea el resultado del producto escalar de dos vectores NO ES UN VECTOR, ES UN NÚMERO.

NOTA: A partir de ahora vamos a considerar siempre que las coordenadas de todos los vectores están referidas a la base ortonormal B(x,y), siendo las componentes de x(1,0) y las de y(0,1)

En la escena siguiente puedes mover con el ratón los extremos de los vectores u y v , verás como va cambiando el |u| , el |v| , el ángulo que forman A , y su coseno. Por último verás el producto escalar de los dos vectores, o sea u.v

12. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

1.- Comprueba que si u=0 o v=0 , entonces u.v=0

2.- Comprueba que si u es perpendicular a v , u.v=0 , siendo u ¹ 0 y v ¹ 0 , pues entonces A=90º, y el cos90º=0

3.- Propiedad conmutativa
u.v = v.u

4.- Propiedad asociativa
a(u.v) = (au).v
a=número
u=vector
v=vector

5.- En una base ortonormal B(x,y) o sea x=(1,0) y=(0,1) se cumple

x.x = 1	Para comprobarlo pones en la escena anterior u = x = (1,0) v = x = (1,0)
y.y = 1	Para comprobarlo pones en la escena anterior u = y = (0,1) v = y = (0,1)
x.y = y.x = 0	Para comprobarlo pones en la escena anterior u = x = (1,0) v = y = (1,0)

6.- v.u = |v|.(|u|.cos (a)) = |v|.(proyección de u sobre v)

de donde:

proyección de u sobre v =

vectores6_2.gif (1687 bytes)

7.- Propiedad distributiva:

u. (v + w) = u.v + u.w

Moviendo los extremos de los vectores u , v y w , podrás comprobar esta propieda d

13. EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR

Si las coordenadas de los vectores u y v respecto a una base ortonormal son:

u (u₁,u₂)

v(v₁,v₂)

el producto escalar queda así:

u.v = u₁.v₁ + u₂.v₂

Podrás comprobarlo en la escena siguiente, moviendo los extremos de los vectores u y v (o cambiando los valores de las coordenadas en los botones inferiores), viendo el valor de sus coordenadas y de su producto escalar u.v

EJERCICIO 13

Comprueba las propiedades 1 y 2 del producto escalar:

1.- Mueve el extremo de u hasta que sus coordenadas sean (0,0), o bien introduce los valores (0,0) en los botones inferiores de la escena, para comprobar la propiedad 1.

2.- Después de dar al botón inicio, anota en tu cuaderno las coordenadas de u y v y las operaciones necesarias para obtener el producto escalar u.v

3.- Con los botones inferiores de la escena, cambia las coordenadas de los vectores para que sean perpendiculares.

4.- Anota en tu cuaderno las coordenadas elegidas y el cálculo del producto escalar u.v

14. MÓDULO DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS

v.v = \|v\|.\|v\|.cos (v,v) = \|v\|².cos 0 = \|v\|².1 = \|v\|²	Por tanto:
Si las coordenadas de v son (v₁,v₂)	v.v = v₁.v₁ + v₂.v₂ = v₁² + v₂²

15. COSENO DEL ÁNGULO DE DOS VECTORES

De la definición de producto escalar: u.v = \|u\|.\|v\|.cos(u,v)	se deduce que:
Y mediante las coordenadas:

EJERCICIO 14

Con los vectores u y v de la escena del EJERCICIO 13 ya vimos cuánto valía u.v, calcula ahora en tu cuaderno:
1.- |u|

2.- |v|

3.- cos (u,v) y el ángulo (u,v)

4.- ¿Cuánto tiene que valer x para que v(x,2) sea ortogonal a u? Observa la relación entre las coordenadas de u y éste vector ortogonal a él.

Las soluciones a este ejercicio las puedes comprobar en la escena siguiente:

	Ángela Nuñez Castaín (2001) Adaptación a DescartesJS: Ángela Nuñez Castaín y José R. Galo Sánchez (2017)

	ProyectoDescartes.org. Año 2017

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