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Lunes, 22 Septiembre 2025 00:00

Abierto el plazo de inscripción en el curso "Diseño de libros interactivos con DescartesJS y herramientas de IA"

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Abierto el plazo de inscripción en el curso "Diseño de libros interactivos con DescartesJS y herramientas de IA"

¿Quieres aprender a crear libros interactivos que faciliten tu labor docente y cautiven a tu alumnado y a tus lectores? Únete a nuestro curso y descubre cómo utilizar las herramientas de inteligencia artificial y DescartesJS para diseñar libros interactivos educativos y páginas dinámicas.

Queda abierto el plazo de inscripción gratuita a la II Edición del Curso para el "Diseño de libros interactivos con DescartesJS y herramientas de Inteligencia Artificial", una acción formativa que se enmarca en el programa de Educación Abierta desarrollado entre redes docentes de Colombia, México y España, fundamentalmente, aunque contamos con la participación de profesorado de otros países de habla hispana, portuguesa e inglesa.

Está dirigido a docentes de cualquier etapa educativa, infantil, primaria, educación secundaria obligatoria, bachillerato, formación profesional, enseñanzas de régimen especial y universidad, y de cualquier materia o especialidad, en activo o no, así como a profesionales vinculados a la educación o formación y a diseñadores y desarrolladores interesados en libros y objetos interactivos, utilizando una metodología activa, concretamente Clase Invertida y Aprendizaje Basado en Proyectos (Tareas), pues desde la primera sesión cada participante comenzará a diseñar y editar su primer libro interactivo, recibiendo sesiones quincenales por videoconferencia, que serán grabadas y compartidas con todos los participantes y asesorados por docentes de las redes mencionadas.

El curso comienza el próximo día 17 de octubre y finaliza el 13 de febrero de 2026, impartiéndose las sesiones de 7 AM a 8 AM en el horario oficial de Colombia, de acuerdo al siguiente calendario previsto y contenidos a tratar:

calendario contenidos joomla

Para cualquier consulta o aclaración, puedes contactar con nosotros en la dirección de correo Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo. 

 ACCESO AL FORMULARIO DE INSCRIPCIÓN

 

Este formulario estará abierto hasta el día 10 de octubre o hasta cubrir disponibilidad.

Toda la información sobre el curso se encuentra disponible, como no puede ser de otra manera, en el formato libro interactivo, ofreciendo allí, conforme a la metodología, los contenidos y tareas de la primera sesión. Así, tenemos:

  1. Metodología 
  2. Programación detallada
  3. Prepárate para la primera sesión
  4. Descarga el libro plantilla
  5. Trabajos en la primera sesión
  6. Estructura del libro 

Relación de recursos de gran interés

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Sábado, 20 Septiembre 2025 00:00

Análisis y crítica de la espiral de Durero

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Análisis y crítica de la espiral de Durero

Si aborda una búsqueda literaria o pregunta a un buscador o a una inteligencia artificial sobre "La espiral de Durero" con alta probabilidad se verá derivado a una curva plana que se enmarca en una sucesión de rectángulos y obtendrá una imagen análoga, similar, a la siguiente:

espiralDurero

Fig. 1. Representación usual actual de  "La espiral de Durero".

Pero si consultamos la fuente original, es decir, la espiral que describe Durero en el libro I de "De la Medida", verá que este artista dibuja una espiral con aspecto diferente o al menos que difiere de la representación anterior.

PseudoEspirarDureroDeLaMedida

Fig. 2. Espiral dibujada por Durero en el libro I "De la Medida".

 

Si siente inquietud acerca de la relación que existe entre esas dos espirales ha llegado al sitio adecuado. Aquí le explicaré el vínculo matemático, el cordón umbilical que une a ambas y cómo una recoge la esencia primigenia, el ser, de la otra. Esta explicación la he recogido en una escena interactiva que he titulado "Crítica de la pseudoespiral de Durero" y que nos servirá de guía expositiva.

PseudoEspiralDurero

Fig. 3. Escena interactiva "Crítica de la pseudoespiral de Durero.
Pulse sobre la imagen para acceder.

Si se siguen la instrucciones dadas por Durero rápidamente se observará que no se concretan, que son ambiguas, y que fuerzan al lector y reproductor de ellas a tomar decisiones sin las cuales no podría dibujar lo que Durero posiblemente quiso dibujar, según la imagen que elaboró, pero que no llegó a detallar en su guía constructiva. En la escena podrá ir paso a paso y ver cuáles son los criterios por los que yo he optado y también cómo queda abierto el estudio para otras posibles opciones que serán objeto de un trabajo posterior.

Interpretando las instrucciones iniciales de Durero podemos dibujar una curva que es concatenación de arcos de circunferencias (en concreto consideramos cuadrantes) afectados por un factor reductor de 0,5 que conforman una "espiral hacia dentro": Realmente no es una espiral propiamente, sino una pseudoespiral, ya que es una curva definida a trozos y, por tanto, sus propiedades no cambian puntualmente sino en intervalos.

espiral hacia dentro

Fig. 4. Espiral "hacia dentro" según la indicaciones iniciales de Durero
y forzada interpretación del autor de este artículo.

Continuando con las siguientes instrucciones que aporta este artista obtenemos una pseudoespiral "hacia fuera" formada también por cuadrantes de circunferencia con un factor amplificador de 1,5. 

espiralhaciafuera

Fig. 5. Espiral "hacia fuera" según la indicaciones posteriores de Durero
y obligada interpretación del autor de este artículo.

Concatenado ambas obtenemos la pseudoespiral de Durero:

espiral hacia dentro y hacia fuera

Fig. 5. La pseudoespiral de Durero acorde con las indicaciones dadas por Durero
e interpretación del autor de este artículo

Abordando un análisis personal de esta construcción y realizando una crítica de la misma, podemos afirmar lo siguiente:

  1.  La espiral hacia dentro se puede aproximar, o en una lectura recíproca aproxima, a una espiral logarítmica, en el sentido de que por los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica de base 2 (factor reductor 0,5 conlleva un factor amplificador de 2). Esta espiral no aproxima a la pseudoespiral "hacia fuera".

    Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero hacia dentro

    Fig. 6. Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero "hacia dentro".

  2. La espiral hacia fuera se puede aproximar, o en una lectura recíproca aproxima, a una espiral logarítmica, en el sentido de que por los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica de base 1,5 (factor amplificador de 1,5).  Esta espiral no aproxima a la pseudoespiral "hacia dentro". 

    Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero hacia fuera

    Fig. 7. Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero "hacia fuera".

  3. Si f es el factor reductor de la espiral hacia dentro y m es el factor amplificador de la espiral hacia fuera, para que las espirales logarítmicas que aproximan a la pseudoespiral hacia dentro y hacia fuera coincida ha de verificarse que m (1 - f) = 1.

    Espirales logarítmicas que aproximan a la pseudoespiral de Durero hacia dentro y hacia fuera (en la imagen no coinciden)

    Fig. 8. Espiral logarítmica "hacia dentro" y espiral logarítmica "hacia fuera" no coinciden, pues 1,5 (1 - 0,5) ≠ 1.

    Espirales logarítmicas que aproximan a la pseudoespiral de Durero hacia dentro y hacia fuera (en la imagen sí coinciden)

    Fig. 9. Espiral logarítmica "hacia dentro" y espiral logarítmica "hacia fuera" sí coinciden, pues 2 (1 - 0,5) = 1.

  4. Si f es el factor reductor y g = 1 - f, para que los cuadrados que intervienen en la construcción "hacia dentro" de Durero no se solapen ha de verificarse que g < Φ-1 (o lo que es equivamente que f  > 1 - Φ-1, donde Φ es el número áureo.

    Solapamiento en la construcción de Durero hacia dentro

    Fig. 10. Condición para que haya solapamiento en la construcción de la pseudoespiral de Durero "hacia dentro".

  5. Si m es el factor amplificador, para que los cuadrados que intervienen en la construcción "hacia fuera" de Durero no se solapen ha de verificarse que m > Φ.

    Solapamiento en la construcción de Durero hacia fuera

    Fig. 11. Condición para que haya solapamiento en la construcción de la pseudoespiral de Durero "hacia fuera".

  6. Si el factor amplificador m = Φ y el reductor es f = 1 - Φ-1, entonceslos cuadrados que intervienen en la construcciónde Durero recubren el plano sin solapamiento y la pseudoespiral hacia dentro y hacia fuera se aproxima por la espiral logarítmica áurea:ρ = r 0,692... Φ2 θ/π.

    la actualmente denominada como espiral de Durero

    Fig. 12. La actualmente denominada como espiral de Durero.

      • En esta construcción se obtiene una sucesión de rectangulos semejantes que son áureos, es decir, su proporción es el número áureo.

    Sucesión de rectángulos áureos

    Fig. 13. Sucesión de rectángulos áureos en la construcción de la espiral de Durero.

      • Si observa bien en la Fig. 13 (amplie la imagen en la escena interactiva), podrá comprobar que la espiral logarítmica áurea aproxima a la pseudoespiral de Durero, pero no coincide con ella. 

        Insistamos en que la "espiral de Durero", realmente no es una espiral, pero sí aproxima a la espiral logarítmica áurea cuya ecuación es:  

        ρ = a Φ2 θ/π

        siendo a un factor de escala. La "espiral de Durero" es una curva inscrita tangencialmente en la sucesión de rectángulos áureos de la construcción, pero la espiral logarítmica áurea interseca a dichos rectángulos en los extremos de los arcos de circunferencia.

  7. La actualmente denominada "espiral de Durero" se puede construir siguiendo las siguientes instrucciones: Se parte de un rectángulo áureo y se le concatena un cuadrado, para obtener otro rectángulo áureo, sobre el que se dibuja un cuarto de circunferencia; al reiterar la construcción se obtiene la pseudoespiral buscada.

    Construcción de la espiral de Durero a partir de un rectángulo áureo

    Fig. 14. Construcción de la "espiral de Durero" a partir de un rectángulo áureo.

 

Si he cumplido el objetivo planteado, usted, paciente lector, ya conoce la relación que existe entre el dibujo que realizó Durero en el siglo XVI y la actual "espiral de Durero" y, quizás tenga interés en saber el porqué matemático de lo aquí indicado. Si es así, puede acudir a las indicaciones de la escena interactiva y satisfacer su curiosidad.

 

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Jueves, 18 Septiembre 2025 00:00

Byrne y el Teorema de Pitágoras

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Byrne y el Teorema de Pitágoras

En nuestro artículo "Euclides y el Teorema de Pitágoras", publicado en este blog de la RED Descartes, acudimos a  "Los Elementos” de Euclides como fuente primigenia de la demostración académica del Teorema de Pitágoras con el objetivo de mostrar e introducir al lector interesado en la demostración matemática de una propiedad basándose en un sistema axiomático y deductivo y, a la vez, difundir la menos conocida generalización de esta propiedad. En concreto, acudimos a la primera versión en español de estos libros debida a Rodrigo Çamorano y seguimos en la guía lógica-deductiva aportada por David E. Joyce en su versión interactiva con applets de Java (actualmente estos applets presenta problemas de compatibilidad en algunos sistemas y cuando eso ocurre se suplen con imágenes).

 En 1847, Oliver Byrne publicó su libro "The First six books of the Elements of Euclid whith coloured diagrams and symbols" en el que, como él indica, el uso de diagramas coloreados y símbolos en lugar de letras facilita el aprendizaje a los estudiantes. El libro de Byrne puede considerarse una revolucionaria propuesta innovadora en la enseñanza de las Matemáticas ya que sustituye el usual sistema literal e introduce atractivos elementos gráficos coloreados que le sirven de soporte y medio para abordar las demostraciones matemáticas de manera visual y por ende evitando la, muchas veces, farragosa expresión escrita que requiere una interpretación de lo leído, es decir, pone en práctica el conocido dicho: "más vale una imagen que mil palabras". De hecho, basta ver por primera vez una página de este precioso libro de Byrne para sentirse atraído con su diseño y verse sorprendido por el potencial comunicador y didáctico que encierra. El libro de Byrne podemos consultarlo en español en la versión elaborada por Nicholas Rougeux, y nosotros, con modestia introduciremos algo más de interactividad.

ByrnePitagoras

Fig. 1. Demostración del teorema de Pitágoras según Byrne
Pulse sobre la imagen para verlo en el libro de Byrne.

Si en el artículo antes citado buscábamos introducir al lector en el academicismo euclidiano, en éste buscamos mostrar cómo Euclides puede adentrarse en el aula de una manera didáctica, aproximándonos al aprendiz, pero respetando al gran maestro y referente. Para ello, hemos desarrollado dos escenas interactivas que abordan las demostraciones gráficas del Teorema de Pitágoras y de la generalización del mismo. Le invitamos a acceder a ellas y a interactuar con las mismas.

Byrne y su demostración gráfica del teorema de Pitágoras 

 Con esta primera escena se busca conseguir los siguientes objetivos:

  • Conocer una versión de "Los elementos" de Euclides con una perspectiva .
  • Percibir la plasticidad de la mente humana y cómo un mismo concepto tiene diversas formas de reflejarse.
  • Tomar contacto con la didáctica matemática en el sistema axiomático euclidiano.
  • Ver cómo Byrne realiza la demostración euclidiana del teorema de Pitágoras con una metodología deductiva basada en gráficos de colores.
  • Comprender cómo se aborda un razonamiento deductivo apoyándose en axiomas y proposiciones.
  • Sentar las bases para asimilar que la metodología empleada condiciona el aprendizaje.

 

Demostracion euclidiana del Teorema de Pitágoras

Fig. 2. Acceso a la miscelánea "Byrne y su demostración gráfica del teorema de Pitágoras". 
Pulse sobre la imagen para acceder.

La versión clásica euclidiana de este resultado puede consultarla en nuestra miscelánea "Demostración euclidiana del Teorema de Pitágoras". 

 

Byrne y su demostración gráfica de la generalización del teorema de Pitágoras 

Siguiendo la línea de trabajo abordada en la miscelánea anterior, a continuación, divulgamos el resultado menos conocido que es "La generalización del Teorema de Pitágoras" y aquí, de nuevo, lo haremos según la versión coloreada de Byrne, expuesta en la p. 259 de su libro "The First six books of the Elements of Euclid whith coloured diagrams and symbols". 

Los objetivos a lograr son los mismos que en la miscelánea anterior, pero centrados en esta generalización.

Demostracion euclidiana de la generalización del Teorema de Pitágoras

Fig. 6. Acceso a la miscelánea "Byrne y su demostración gráfica de la generalización euclidiana del teorema de Pitágoras". 
Pulse sobre la imagen para acceder.

La versión clásica euclidiana de esta generalización puede consultarla en nuestra miscelánea "Generalización euclidiana del Teorema de Pitágoras".

Reflexión

Comparando las versiones clásicas con las que aquí presentamos podrá experimentar la dureza que pueden encerrar algunos argumentos literarios matemáticos y el lenguaje matemático en sí —una posible causa de la desmotivación de nuestro alumnado— y cómo esta aspereza puede ser salvada con métodos didácticos innovadores. El academicismo euclidiano y, en general, de nos, los matemáticos, siendo en nuestra profesión necesario, esencial, imprescindible y loable, pensamos ha de saber reconducirse cuando lo que se desea es enseñar y divulgar el conocimiento. Byrne así lo entendió y nos marcó un esplendoroso camino del que aprender y tratar de adaptar, más en estos tiempos en los que las herramientas tecnológicas son una ayuda innegable e imprescindible que no se pueden obviar en nuestra labor docente.

 

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Martes, 16 Septiembre 2025 00:00

Euclides y el Teorema de Pitágoras

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Euclides y el Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es, posiblemente,  el resultado matemático más "conocido" tanto por legos como expertos, al menos como sabedores de su existencia, aunque incluso no se sea capaz de dar un enunciado correcto y ni siquiera se sepa el porqué de su importancia ni su aplicación. Un resultado con más de dos mil años de antiguedad y que fue recogido y divulgado por Euclides en  "Los Elementos”. Es una propiedad que está indisolublemente ligada a la perpendicularidad que condiciona nuestras vidas y nuestro entorno, dado que estamos sujetos a la fuerza gravitatoria y, de ahí, su máxima importancia en cualquier construcción o diseño ergonómico que permita satisfacer nuestras necesidades de movilidad y acomodación.  ¿Quién no ha visto la representación geométrica de este Teorema?:

Teorema de Pitágoras

Fig. 1. Representación geométrica del Teorema de Pitágoras

o ¿quién no ha visto en algún momento su más críptica representación algebraica?:

a2 + b2 = c2

Fig. 2. Representación algebraica del Teorema de Pitágoras

Pero menos divulgado, aunque Euclides también lo incluye en el libro VI de los Elementos, es la "Generalización del Teorema de Pitágoras" donde se extiende el resultado a cualquier terna de figuras semejantes que se dibujen sobre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Euclides en su demostración hace una representación gráfica con rectángulos, pero la demostración se realiza de manera general.

Generalización del Teorema de Pitágoras

Fig. 3. Ilustraciones originales de los Elementos.
Izq. Teorema de Pitágoras. Dcha. Generalización del teorema de Pitágoras

El artista renacentista Alberto Durero mostró un profundo interés por la geometría, un conocimiento que se revitalizó en Europa gracias a la primera edición impresa de los Elementos de Euclides. Esta edición, publicada en 1482, se basó en la traducción y comentarios del matemático Campano de Novara. A su vez, el trabajo de Campano se fundamentó en versiones árabes, una de las cuales fue la influyente traducción que realizó en el siglo XII Adelard of Bath. Aunque Adelard de Bath tradujo la obra de un texto en árabe andalusí, la afirmación de que lo obtuvo por espionaje de la biblioteca de Madīnat al-Zahrā (Medina Azahara) en Córdoba es una leyenda sin fundamento histórico.

Durero, formador de artesanos a los que dedicó sus libros, conocidos colectivamente como los libros "De la Medida", fundamental para la construcción de formas y la perspectiva, también refleja la generalización del Teorema de Pitágoras  y dibuja los casos particulares de triángulos y cuadrados en dicha construcción sobre un triángulo rectángulo.

Generalización del Teorema de Pitágoras difundido por Durero

Fig. 4. Ilustraciones de Albert Durero en el libro II de la Medida.
Izq. Generalización del Teorema de Pitágoras con triángulos. Dcha. teorema de Pitágoras con cuadrados.

Y en la siguiente imagen podemos observar otras muestras de este resultado:

otros ejemplos de la generalización del Teorema de Pitágoras

Fig. 5. Otros ejemplos de la generalización del Teorema de Pitágoras.

Para quienes estén interesados en profundizar sobre este tema hemos desarrollado dos misceláneas que se adentran en estos contenidos y los detallan. Les invitamos a acceder e interactuar con ellas.

Demostración euclidiana del teorema de Pitágoras

En las indicaciones de la miscelánea con este título, puede leer la motivación, los objetivos y las instrucciones e interactuando con ella podrá acceder a su contenido.

 

Demostracion euclidiana del Teorema de Pitágoras

Fig. 6. Acceso a la miscelánea "Demostración euclidiana del teorema de Pitágoras". 
Pulse sobre la imagen para acceder.

Generalización euclidiana del teorema de Pitágoras

De manera análoga también en las indicaciones de la miscelánea con este título, puede leer la motivación, los objetivos y las instrucciones e interactuando con ella podrá acceder a su contenido.

 

Demostracion euclidiana de la generalización del Teorema de Pitágoras

Fig. 6. Acceso a la miscelánea "generalización euclidiana del teorema de Pitágoras". 
Pulse sobre la imagen para acceder.

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