¿Quieres aprender a crear libros interactivos que faciliten tu labor docente y cautiven a tu alumnado y a tus lectores? Únete a nuestro curso y descubre cómo utilizar las herramientas de inteligencia artificial y DescartesJS para diseñar libros interactivos educativos y páginas dinámicas.

Queda abierto el plazo de inscripción gratuita a la II Edición del Curso para el "Diseño de libros interactivos con DescartesJS y herramientas de Inteligencia Artificial", una acción formativa que se enmarca en el programa de Educación Abierta desarrollado entre redes docentes de Colombia, México y España, fundamentalmente, aunque contamos con la participación de profesorado de otros países de habla hispana, portuguesa e inglesa.

Está dirigido a docentes de cualquier etapa educativa, infantil, primaria, educación secundaria obligatoria, bachillerato, formación profesional, enseñanzas de régimen especial y universidad, y de cualquier materia o especialidad, en activo o no, así como a profesionales vinculados a la educación o formación y a diseñadores y desarrolladores interesados en libros y objetos interactivos, utilizando una metodología activa, concretamente Clase Invertida y Aprendizaje Basado en Proyectos (Tareas), pues desde la primera sesión cada participante comenzará a diseñar y editar su primer libro interactivo, recibiendo sesiones quincenales por videoconferencia, que serán grabadas y compartidas con todos los participantes y asesorados por docentes de las redes mencionadas.

El curso comienza el próximo día 17 de octubre y finaliza el 13 de febrero de 2026, impartiéndose las sesiones de 7 AM a 8 AM en el horario oficial de Colombia, de acuerdo al siguiente calendario previsto y contenidos a tratar:

Para cualquier consulta o aclaración, puedes contactar con nosotros en la dirección de correo Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo. 

Este formulario estará abierto hasta el día 10 de octubre o hasta cubrir disponibilidad.

Toda la información sobre el curso se encuentra disponible, como no puede ser de otra manera, en el formato libro interactivo, ofreciendo allí, conforme a la metodología, los contenidos y tareas de la primera sesión. Así, tenemos:

1. Metodología 
2. Programación detallada
3. Prepárate para la primera sesión
4. Descarga el libro plantilla
5. Trabajos en la primera sesión
6. Estructura del libro 

Relación de recursos de gran interés

• Diseño de libros interactivos. Segunda edición.
• Herramientas de Inteligencia Artificial para la enseñanza
• Vídeos con las sesiones y materiales de la edición anterior

Si aborda una búsqueda literaria o pregunta a un buscador o a una inteligencia artificial sobre "La espiral de Durero" con alta probabilidad se verá derivado a una curva plana que se enmarca en una sucesión de rectángulos y obtendrá una imagen análoga, similar, a la siguiente:

Fig. 1. Representación usual actual de  "La espiral de Durero".

Pero si consultamos la fuente original, es decir, la espiral que describe Durero en el libro I de "De la Medida", verá que este artista dibuja una espiral con aspecto diferente o al menos que difiere de la representación anterior.

Fig. 2. Espiral dibujada por Durero en el libro I "De la Medida".

Si siente inquietud acerca de la relación que existe entre esas dos espirales ha llegado al sitio adecuado. Aquí le explicaré el vínculo matemático, el cordón umbilical que une a ambas y cómo una recoge la esencia primigenia, el ser, de la otra. Esta explicación la he recogido en una escena interactiva que he titulado "Crítica de la pseudoespiral de Durero" y que nos servirá de guía expositiva.

Fig. 3. Escena interactiva "Crítica de la pseudoespiral de Durero.
Pulse sobre la imagen para acceder.

Si se siguen la instrucciones dadas por Durero rápidamente se observará que no se concretan, que son ambiguas, y que fuerzan al lector y reproductor de ellas a tomar decisiones sin las cuales no podría dibujar lo que Durero posiblemente quiso dibujar, según la imagen que elaboró, pero que no llegó a detallar en su guía constructiva. En la escena podrá ir paso a paso y ver cuáles son los criterios por los que yo he optado y también cómo queda abierto el estudio para otras posibles opciones que serán objeto de un trabajo posterior.

Interpretando las instrucciones iniciales de Durero podemos dibujar una curva que es concatenación de arcos de circunferencias (en concreto consideramos cuadrantes) afectados por un factor reductor de 0,5 que conforman una "espiral hacia dentro": Realmente no es una espiral propiamente, sino una pseudoespiral, ya que es una curva definida a trozos y, por tanto, sus propiedades no cambian puntualmente sino en intervalos.

Fig. 4. Espiral "hacia dentro" según la indicaciones iniciales de Durero
y forzada interpretación del autor de este artículo.

Continuando con las siguientes instrucciones que aporta este artista obtenemos una pseudoespiral "hacia fuera" formada también por cuadrantes de circunferencia con un factor amplificador de 1,5. 

Fig. 5. Espiral "hacia fuera" según la indicaciones posteriores de Durero
y obligada interpretación del autor de este artículo.

Concatenado ambas obtenemos la pseudoespiral de Durero:

Fig. 5. La pseudoespiral de Durero acorde con las indicaciones dadas por Durero
e interpretación del autor de este artículo

Abordando un análisis personal de esta construcción y realizando una crítica de la misma, podemos afirmar lo siguiente:

1.  La espiral hacia dentro se puede aproximar, o en una lectura recíproca aproxima, a una espiral logarítmica, en el sentido de que por los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica de base 2 (factor reductor 0,5 conlleva un factor amplificador de 2). Esta espiral no aproxima a la pseudoespiral "hacia fuera".
   
   
   

   Fig. 6. Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero "hacia dentro".

2. La espiral hacia fuera se puede aproximar, o en una lectura recíproca aproxima, a una espiral logarítmica, en el sentido de que por los puntos extremos de los arcos de la pseudoespiral de Durero pasa una espiral logarítmica de base 1,5 (factor amplificador de 1,5).  Esta espiral no aproxima a la pseudoespiral "hacia dentro". 
   
   

   Fig. 7. Espiral logarítmica que aproxima a la pseudoespiral de Durero "hacia fuera".

3. Si f es el factor reductor de la espiral hacia dentro y m es el factor amplificador de la espiral hacia fuera, para que las espirales logarítmicas que aproximan a la pseudoespiral hacia dentro y hacia fuera coincida ha de verificarse que m (1 - f) = 1.
   
   

   Fig. 8. Espiral logarítmica "hacia dentro" y espiral logarítmica "hacia fuera" no coinciden, pues 1,5 (1 - 0,5) ≠ 1.
   
   

   Fig. 9. Espiral logarítmica "hacia dentro" y espiral logarítmica "hacia fuera" sí coinciden, pues 2 (1 - 0,5) = 1.

4. Si f es el factor reductor y g = 1 - f, para que los cuadrados que intervienen en la construcción "hacia dentro" de Durero no se solapen ha de verificarse que g < Φ^-1 (o lo que es equivamente que f  > 1 - Φ^-1, donde Φ es el número áureo.
   
   

   Fig. 10. Condición para que haya solapamiento en la construcción de la pseudoespiral de Durero "hacia dentro".

5. Si m es el factor amplificador, para que los cuadrados que intervienen en la construcción "hacia fuera" de Durero no se solapen ha de verificarse que m > Φ.
   
   

   Fig. 11. Condición para que haya solapamiento en la construcción de la pseudoespiral de Durero "hacia fuera".

6. Si el factor amplificador m = Φ y el reductor es f = 1 - Φ^-1, entonceslos cuadrados que intervienen en la construcciónde Durero recubren el plano sin solapamiento y la pseudoespiral hacia dentro y hacia fuera se aproxima por la espiral logarítmica áurea:ρ = r 0,692... Φ^{2 θ/π}.
   
   

   Fig. 12. La actualmente denominada como espiral de Durero.

   • En esta construcción se obtiene una sucesión de rectangulos semejantes que son áureos, es decir, su proporción es el número áureo.
   
   

   Fig. 13. Sucesión de rectángulos áureos en la construcción de la espiral de Durero.

   • • Si observa bien en la Fig. 13 (amplie la imagen en la escena interactiva), podrá comprobar que la espiral logarítmica áurea aproxima a la pseudoespiral de Durero, pero no coincide con ella. 

       Insistamos en que la "espiral de Durero", realmente no es una espiral, pero sí aproxima a la espiral logarítmica áurea cuya ecuación es:  

       ρ = a Φ^{2 θ/π}

       siendo a un factor de escala. La "espiral de Durero" es una curva inscrita tangencialmente en la sucesión de rectángulos áureos de la construcción, pero la espiral logarítmica áurea interseca a dichos rectángulos en los extremos de los arcos de circunferencia.

7. La actualmente denominada "espiral de Durero" se puede construir siguiendo las siguientes instrucciones: Se parte de un rectángulo áureo y se le concatena un cuadrado, para obtener otro rectángulo áureo, sobre el que se dibuja un cuarto de circunferencia; al reiterar la construcción se obtiene la pseudoespiral buscada.
   
   

   Fig. 14. Construcción de la "espiral de Durero" a partir de un rectángulo áureo.

Si he cumplido el objetivo planteado, usted, paciente lector, ya conoce la relación que existe entre el dibujo que realizó Durero en el siglo XVI y la actual "espiral de Durero" y, quizás tenga interés en saber el porqué matemático de lo aquí indicado. Si es así, puede acudir a las indicaciones de la escena interactiva y satisfacer su curiosidad.