Lugares geométricos: Cicloide - Trisectriz de Ceva.

Continuamos con el estudio de los lugares geométricos y en esta entrada vamos a desarrollar una aproximación al conocimiento del l.g. conocido como "Trisectriz o cicloide de Tommaso Ceva". Este l.g. resuelve, a finales del siglo XVII, el problema clásico de la trisección de un ángulo pero no como pretendían los antiguos sabios griegos; aunque sí de una forma muy ingeniosa, extraordinariamente bella, dinámica y funcional.

La admiración que el método ideado por Tommaso Ceva despertó en muchos científicos y técnicos propició la creación de numerosos instrumentos mecánicos trisectores de ángulos también llamados Pantógrafos de Ceva la representación gráfica de uno de los cuales se muestra a continuación.

Para profundizar en el estudio del lugar geométrico y en el de uso del editor DescartesJS, hemos elaborado, de forma muy esquemática, las pequeñas utilidades que se muestran a lo largo del capítulo. Son escenas basadas en la obra del profesor Pedro González Enríquez, trabajo que está en proceso de adaptación a las nuevas versiones del editor DescartesJS.

La primera de las escenas muestra la generación dinámica del l.g. conocido como Cicloide-Trisectriz de Ceva de la siguiente manera:

• Establecido un sistema de referencia y considerada una distancia cualquiera, por ejemplo a = 1, se crean los siguientes elementos:
  • Con centro en el origen (0,0) y radio r = a se traza una circunferencia.
  • Se considera un punto cualquiera, A, de la circunferencia, por ejemplo el (a,0). Este punto es importante pues hará posible, cuando se desplace por la circunferencia, la creación del lugar geométrico.
  • Dibujar el punto B que depende de A y cumple dos condiciones: la primera es que debe estar en el eje horizontal y la segunda que su distancia al punto A sea igual a r en nuestro caso a. El punto de coordenadas (2·a·cos(t),0) donde t es el ángulo que la cuerda OA forma con la horizontal, cumple las condiciones. Este punto se mueve en el eje horizontal desde 2·a hasta -2·a y viceversa cada vez que el punto A da una vuelta a la circunferencia según podemos observar en la animación.
  • Con centro en el punto B y radio r = a se traza una circunferencia.
  • Trazar la cuerda que pasa por el origen de coordenadas y por el punto A. Esta cuerda cortará siempre a ambas circunferencias. Consideramos los puntos de corte A y P.
  • El punto P que, solidario con la cuerda, gira alrededor de B y se desplaza por el plano es el punto fundamental ya que genera, en su desplazamiento, el l.g. en estudio.
  • Cuando el punto A recorre la circunferencia, el punto P define la Cicloide-Trisectriz de Ceva
  • Para observar la generación del l.g. basta con pulsar el botón "anima/para" de la escena.
  • Conviene ver, en principio, la generación del l.g. con la curva oculta. También puede ser conveniente ocultar los ángulos pues mostrarlos, durante la primera vuelta del punto P a la circunferencia a la que pertenece, tiene como objetivo comprobar que el l.g. que se está generando es en realidad un trisector.
  • Los botones: "ángulos" y "curva" ocultan/muestran, al hacer clic sobre ellos, las gráficas de los ángulos y de la curva y los textos con los valores de los ángulos. La ecuación cartesiana del l.g. es:
    (x² + y²)³ = a²·(3·x²-y²)²   

  
  lugar geométrico

  Para los lectores menos familiarizados con el proceso de creación de escenas DescartesJS indicamos que:

  • Si se desea volver a ver la generación del l.g. desde el principio y con la escena despejada es suficiente con pulsar el botón inicio y volver a activar la animación.
  • El botón velocidad ajusta la característica que su nombre indica de la animación.

  Como en anteriores ocasiones indicamos que la utilidad es fácilmente adaptable y admite las modificaciones y/o ampliaciones que se consideren convenientes para los propósitos particulares de uso.

  La escena que exponemos a continuación muestra como el lazo mayor de la "Cicloide-Trisectriz de Tommaso Ceva" es en realidad un trisector de ángulos. Esto se evidencia de la siguiente forma:

  • En esta ocasión el punto A, que pertenece a la circunferencia de centro el origen y radio a, es un control gráfico que puede desplazarse por dicha circunferencia modificando el valor del pulsador ángulo.
  • El ángulo que el radio OA forma con la horizontal puede controlarse con el pulsador ángulo y su valor se muestra en la parte superior izquierda de la escena. Este es el ángulo que vamos a trisecar de la siguiente forma:
    • Por el punto A trazamos una semirrecta horizontal tal como muestra la escena.
    • En dicha semirrecta colocamos un control gráfico G.
    • Se desplaza el control gráfico G hasta que corta al lazo exterior en el punto adecuado (intersección de semirrecta y lazo). Cuando esto ocurre observamos que el segmento OG forma con la horizontal un ángulo que es la tercera parte del ángulo que forma el radio OA, mostrándose esta situación en la parte superior izquierda de la escena debajo del texto existente. Conviene que el desplazamiento se haga lentamente.
  • La determinación de la trisección puede ejecutarse de muy diferentes maneras. De hecho en la escena actual se ha contado con una cierta 'holgura', quizás excesiva, para facilitar la interactividad.

  
  Lazo Trisectriz de Ceva.

  En los siguientes trabajos presentamos una recreación de las escenas anteriores realizadas con el programa GeoGebra con los propósitos de ahondar en el conocimiento de ambas plataformas: GeoGebra y DescartesJS de forma paralela para lograr los objetivos señalados en entradas anteriores.

  La siguiente utilidad genera la trisectriz al desplazar el punto A por la circunferencia.

  
  creación del l.g.

  En la escena que enlaza la siguiente imagen se usa el lazo de la curva de Ceva como trisector de ángulos.

  
  Lazo trisector de Ceva

  Proponemos al lector el análisis de las utilidades anteriores, su modificación y mejora con objeto de lograr un profundo conocimiento de ambas plataformas y así potenciar la inclusión del cálculo simbólico en escenas DescartesJS de forma eficaz.

  Esta vez en la sección de vídeo hemos elegido dos composiciones de Milton Donaire publicadas en YouTube.
  La primera trata sobre el teorema de Menelao y la segunda sobre el teorema de Giovanni Ceva. El objetivo  es el de apreciar la influencia directa, e indirecta, que el conocimiento del triángulo y de las razones geométricas tiene en el tema que nos ocupa: "Los Lugares Geométricos".

  Teorema de Menelao

  Teorema de Giovanni Ceva

  Continuando con la creación de la miscelánea "Las Espirales sugerimos completar su elaboración extrayendo el contenido relacionado con los lugares geométricos estudiados para añadir dichos contenidos a una nueva miscelánea que podemos nombrar como "Lugares Geométricos"; o bien continuar con la anterior incorporando los nuevos contenidos en el apartado adecuado.
  
  En próximas entradas continuaremos el estudio de los lugares geométricos y analizando el subproyecto Misceláneas.

  Animamos a los lectores a colaborar elaborando contenidos o aportando ideas y sugerencias.
  
  Bibliografía:

  • Parte de la Unidad creada por el profesor Pedro González Enríquez que se encuentra en fase de adaptación a DescartesJS.
  • Web de Robert FERRÉOL con mucha y muy interesante información sobre diversos lugares geométricos.
  • Caracol de Pascal
  • Departamento de Matemáticas. Instituto Rey Pastor. Madrid. Amplio estudio sobre curvas planas
  • Geometría Diferencial de Curvas en el Plano de J. Lafuente (ucm)
  • La abundante información encontrada en la Wikipedia

  
  Ildefonso Fernández Trujillo. 2017